Qual a diferença entre other, others e another?

Ô dúvida cruel! Você pega o dicionário de inglês-português e descobre que other, others e another significam quase a mesma coisa: outro, outra, outros, outras. Mas afinal de contas, é tudo igual? Posso usar qualquer um ou tem aquela infeliz regra do "depende do contexto"? 
Pois é, meu caro leitor, não adianta ficar aí quebrando a cabeça. Há diferenças e vou explicá-las agora.

A primeiro momento 

"Other" é usado como adjetivo para substantivos no plural, enquanto "another" é no singular.

Exemplos:
Another drink - outra bebida / outro drinque
Another victim - outra vítima
Other people - outras pessoas
Other countries - outros países

Aí, fica fácil, né? Mas é um pouquinho mais complexo que isso.
"Another" tem um sentido de "mais um" ou "um outro". Por isso é usado no singular.

Exemplo: 
- My cell phone isn't working. I need to buy another one. 
Meu celular não está funcionando. Eu preciso comprar outro (um outro / mais um).

Entendeu? Por isso, só lembrar dos artigos indefinidos "A" e "An" (releia aqui): "An + other" = um outro.

Então, tá ok! 

"Another" é usado no singular. Other é usado no plural, mas também pode ser usado no singural? Pode sim.
Nesse caso, fica com sentido de apenas "outro" e não de "um outro". Por isso, geralmente (eu disse geralmente, não sempre) vem acompanhado de "the".

- My class is in the other room.

Nessa frase, a pessoa está dizendo "Minha turma é na outra sala", e não "minha turma é em uma outra sala aí". Está sendo afirmado que a turma é naquela outra específica sala.
E "other" também costuma ser muito usado com some, any e no.

Exemplo:
You have no other choice
(Você não tem nenhuma outra escolha)


Já "others" é usado para evitar repetição de palavras ou para se referir a "outras pessoas". Veja os exemplos que você vai entender melhor.

- These movies are so boring. The others are better.
(Esses filmes são tão chatos. Os outros são melhores)

- Don't care what others think.
(Não ligue para o que os outros pensam)

- A lot of people like to travel. Others don't.
(Muitas pessoas gostam de viajar. Outras não)

No primeiro caso, evitei a repetição de "The others movies". Bastou colocar apenas "The others" e fui facilmente compreendido. 
Já no segundo e terceiro casos têm o sentido de "os outros" ou outras (pessoas)


Recapitulando

Another - significa "outro" ou "outra". Usado no singular e com sentido de "um outro".

Other - significa "outro", "outra", "outros", "outras". Quando no singular tem sentido de "o outro" ou "a outra", e no plural é usado como adjetivo antes de substantivos.

Others - significa "(os) outros", "(as) outras". Serve para evitar a repetição de uma palavra ou para se referir a "outras pessoas" de um modo geral.

Pode parecer complicado a primeiro momento decorar isso tudo, mas depois você pega o jeito.
Se não entendeu algo, só deixar um comentário abaixo que responderei o mais breve possível.

See ya!